درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی

افراد در طول روز کارهای بسیاری انجام می‌دهند؛ به جاهای مختلفی می‌روند، از وسایل متنوعی استفاده می‌کنند، خرید می‌کنند، درس می‌خوانند و … . در تمام این فعالیت‌ها، هدف آن است که بهترین تصمیم ها اتخاذ گردند. به‌عنوان مثال، مدیر یک شرکت تولیدی همواره به دنبال آن است که بیشترین سود را با صرف کمترین هزینه کسب نماید. یا اینکه یک باغدار را درنظر بگیرید که با استفاده از روش‌های نوین کشاورزی، درصدد آن است که با صرف کمترین هزینه، بیشترین مقدار محصول را از واحد سطح برداشت کند. چنین مسئله‌هایی در زمرهٔ مسائل بهینه‌سازی هستند که برخی از آنها به کمک مشتق قابل حل‌اند. در اینجا مسائلی را با هدف ماکزیمم کردن مساحت، حجم، سود یا مینیمم کردن فاصله، زمان و هزینه بررسی خواهیم کرد.

مثال 1: نشان دهید در بین تمام مستطیل‌های با محیط ثابت 14 سانتی‌متر، مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض آن هم اندازه باشند.

حل: فرض کنیم ابعاد مستطیل $x$ و $l$ باشند. کمیتی که قرار است ماکزیمم شود، مساحت مستطیل است:

$S = x.l$ (1)

برای آنکه $S$ به‌صورت تابعی از $x$ بیان شود، می‌توانیم $l$ برحسب $x$ به‌دست آوریم:

$:P = 14$ محیط مستطیل

$2(x + l) = 14 \Rightarrow x + l = 7 - x$ (2)

با جایگذاری رابطه (2) در (1) خواهیم داشت:

$S(x) = x(7 - x)$

$S(x) =  - {x^2} + 7x\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,x \in \left[ {0,7} \right]$

$S$ در بازهٔ $(0,7)$ مشتق‌پذیر است، بنابراین برای یافتن نقاط بحرانی آن کافی است ریشهٔ معادلهٔ $S'(x) = 0$ را بیابیم.

بنابراین نقاط به طول $0,7,3/5$، نقاط بحرانی بازهٔ $\left[ {0,7} \right]$ است.

$S'(x) = 0 \Rightarrow  - 2x + 7 = 0 \Rightarrow x = 3/5$

جدول تغییرات تابع $S$ در بازهٔ موردنظر به شکل زیر است:

از جدول دیده می‌شود که بیشترین مقدار مساحت، 12/25 سانتی‌متر مربع است و این مقدار زمانی حاصل می‌شود که طول و عرض مستطیل هم اندازه و مساوی 3/5 سانتی‌متر باشند؛ یعنی یک مربع به ضلع 3/5 سانتی‌متر داشته باشیم. نمودار تابع $S$ نیز رسم شده است. به نقطهٔ ماکزیمم $S$ در نمودار آن توجه کنید.

تذکر: در مثال قبل، تابعی که به دنبال مقدار اکسترمم مطلق آن بودیم، یک تابع درجه 2 بود. از پایه‌های قبل هم می‌دانستیم که نقطهٔ $(\frac{{ - b}}{{2a}},\frac{{ - \Delta }}{{4a}})$، نقطهٔ اکسترمم تابع درجه دوم $f(x) = a{x^2} + bx + c$ را به‌دست می‌دهد. امّا همیشه تابع‌های موردنظر، درجه 2 نیستند. با این حال، مراحل کار مشابه مثال قبل خواهد بود. مثال‌های بعد را مورد توجه قرار دهید.

مثال 2: ورق فلزی مربع شکلی به طول ضلع $30cm$ را درنظر بگیرید. مطابق شکل می‌خواهیم از چهارگوشه آن مربع‌های کوچکی به ضلع $x$ برش بزنیم و آنها را کنار بگذاریم. سپس با تا کردن ورق در امتداد خط چین‌های مشخص شده در شکل، یک جعبهٔ درباز بسازیم. مقدار $x$ چقدر باشد تا حجم قوطی، حداکثر مقدار ممکن گردد؟

حل: ارتفاع مکعب حاصل مساوی $x$ است. طول و عرض قاعدهٔ آن را با $l$ نمایش می‌دهیم. آنچه قرار است ماکزیمم شود، مقدار حجم مکعب مستطیل است:

$V = x.{l^2}$

باید $l$ را برحسب $x$ در این رابطه قرار دهیم تا $V$ تابعی یک متغیره از $x$ شود.

$2x + l = 30 \Rightarrow l = 30 - 2x \Rightarrow V = x{(30 - 2x)^2}$

$Vx = x(900 - 120x + 4{x^2}) \Rightarrow V(x) = 4{x^3} - 120{x^2} + 900x\,\,,\,\,x \in \left[ {0,15} \right]$

نقاط بحرانی تابع $V(x)$ را به‌دست می‌آوریم:

$V'(x) = 0 \Rightarrow 12{x^2} - 240x + 900 = 0 \Rightarrow {x^2} - 20x + 75 = 0$

$ \Rightarrow (x - 5)(x - 15) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x = 5 \hfill \\
  x = 15 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

بنابراین نقاط به طول $15,0,5$، نقاط بحرانی بازهٔ $\left[ {0,15} \right]$ است.

جدول تغییرات تابع $V$ در بازهٔ موردنظر به‌صورت زیر است:

با توجه به جدول، بیشترین حجم ممکن برای مکعب مستطیل موردنظر، $2000(c{m^3})$ است که به ازای $x = 5(cm)$ حاصل می‌شود.

مثال 3: می‌خواهیم مخزنی به شکل مکعب مستطیل درباز بسازیم که حجم آن $10{m^3}$ بوده و طول کف مخزن دو برابر عرض آن باشد. قیمت مصالح مورد نیاز جهت کف این مخزن برای هر متر مربع 100 هزار تومان و این قیمت برای دیواره‌ها در هر متر مربع 60 هزار تومان است. عرض کف مخزن چقدر باشد تا هزینهٔ مصالح مصرف شده کمترین مقدار ممکن گردد؟

حل: لازم است هزینهٔ مصالح مصرف شده کمترین مقدار ممکن شود. تابع هزینه را به‌شکل زیر می‌توان نوشت:

$C = 100(x.l) + 60\left[ {2xh + 2lh} \right]$

$ = 100xl + 120h(x + l)$

$ = 100x(2x) + 120h(x + 2x)$

$C = 200{x^2} + 360xh$ (1)

لازم است که $C$ را به شکل تابعی یک متغیره از $x$ بنویسیم.

$:V = 10({m^3}) \Rightarrow x.l.h = 10 \Rightarrow x(2x)h = 10 \Rightarrow h = \frac{5}{{{x^2}}}$ (2)

با جایگذاری رابطهٔ (2) در (1) خواهیم داشت:

$C(x) = 200{x^2} + 360x(\frac{5}{{{x^2}}})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C(x) = 200{x^2} + \frac{{1800}}{x}\,\,\,\,\,x \in (0, + \infty )$

نقطهٔ بحرانی تابع $C(x)$ را به‌دست می‌آوریم:

$C'(x) = 0 \Rightarrow 400x + \frac{{ - 1800}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow \frac{{400{x^3} - 1800}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow 400{x^3} - 1800 = 0 \Rightarrow {x^3} = \frac{9}{2}$

(نقطهٔ بحرانی تابع $C$)  $ \Rightarrow x\sqrt[3]{{4/5}} \simeq 1/65(m)$

برای رسم جدول تغییرات تابع $C$، لازم است مشتق آن یعنی $C'(x) = \frac{{400{x^3} - 1800}}{{{x^2}}}$ را تعیین علامت کنیم. علامت $C'$ در هر بازه، همان علامت صورت مشتق یعنی $(400{x^3} - 1800)$ است. چرا؟

از جدول دیده می شود که اگر عرض قاعدهٔ مخزن برابر $\sqrt[3]{{4/5}} \simeq 1/65(m)$ انتخاب شود، هزینه مصالح کمترین مقدار ممکن و حدود 1635 (برحسب هزار تومان)، یعنی 1،635،000 تومان خواهد شد.

مثال 4: غلظت یک داروی شیمیایی در خون، $t$ ساعت پس از تزریق در ماهیچه از رابطهٔ $C(t) = \frac{{3t}}{{{t^3} + 27}}$ به‌دست می‌آید. چند ساعت پس از تزریق این دارو، غلظت آن در خون، بیشترین مقدار ممکن خواهد بود؟

حل: ابتدا نقاط بحرانی تابع $C$ را به‌دست می‌آوریم.

$C'(t) = \frac{{3({t^3} + 27) - 3{t^2}(3t)}}{{{{({t^3} + 27)}^2}}}$

$C'(t) = 0 \Rightarrow 3({t^3} + 27) - 9{t^3} = 0 \Rightarrow ({t^3} + 27) - 3{t^3} = 0 \Rightarrow {t^3} = \frac{{27}}{2}$

(نقطهٔ بحرانی تابع $C$)  (ساعت) $ \Rightarrow t = \frac{3}{{\sqrt[3]{2}}} \simeq 2/38$

در $C'(t)$، علامت مخرج همواره مثبت است، پس علامت $C'(t)$ در واقع همان علامت صورت مشتق خواهد بود. بنابراین، جدول تغییرات تابع $C$ به شکل زیر است:

با توجه به جدول، دیده می‌شود که $\frac{3}{{\sqrt[3]{2}}} \simeq 2/38$ ساعت پس از تزریق، میزان غلظت دارو در خون، حداکثر میزان ممکن خواهد بود.

مثال 5: آرتا درون قایقی در نقطهٔ $P$ قرار دارد که فاصلهٔ آن از نزدیک‌ترین نقطهٔ ساحل یعنی نقطهٔ $A$، معادل 3 کیلومتر است. او می‌خواهد به نقطهٔ $B$ در ساحل برسد که در 8 کیلومتری $A$ قرار دارد. فرض کنید سرعت حرکت قایق $2km/h$ و سرعت پیاده‌روی آرتا در ساحل $4km/h$ باشد. اگر او بخواهد در کوتاه‌ترین زمان ممکن به $B$ برسد، در چه نقطه‌ای از ساحل باید پیاده شده و به‌سوی $B$ پیاده‌روی کند؟

حل: نقطه‌ای از ساحل را که آرتا پیاده می‌شود، $D$ می‌نامیم. می‌دانیم اگر $x$ مسافت طی شده با سرعت ثابت $v$ در مدت زمان $t$ باشد، رابطهٔ $x = vt$ یا معادل آن $t = \frac{x}{v}$ برقرار است. بنابراین:

$:{t_1} = \frac{{PD}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 9} $ زمان پارو زدن مسیر $P$ تا $D$

$:{t_2} = \frac{{DB}}{4} = \frac{{8 - x}}{4} = 2 - \frac{1}{4}x$ زمان پیاده‌روی مسیر $D$ تا $B$

$:t = {t_1} + {t_2}$ زمان کل رسیدن از $P$ به $B$

$t(x) = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 9}  + (2 - \frac{1}{4}x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {0,8} \right]$

به دنبال یافتن مقدار مینیمم مطلق $t$ هستیم. نقطهٔ بحرانی $t$ را به‌دست می‌آوریم.

$t'(x) = \frac{1}{2} \times \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{4} = \frac{{2x - \sqrt {{x^2} + 9} }}{{4\sqrt {{x^2} + 9} }}$

$t'(x) = 0 \Rightarrow 2x - \sqrt {{x^2} + 9}  = 0 \Rightarrow 4{x^2} = {x^2} + 9 \Rightarrow x = \sqrt 3  \simeq 1/73(km)$

بنابراین نقاط به طول $8,0,\sqrt 3 $ نقاط بحرانی بازهٔ $\left[ {0,8} \right]$ است.

جدول تغییرات $t(x)$ به‌صورت زیر است:

از جدول ملاحظه می شود که اگر $x$ یعنی فاصله $D$ از $A$، برابر $\sqrt 3  \simeq 1/73$ کیلومتر انتخاب شود، زمان رسیدن آرتا از $P$ به $B$ کمترین زمان ممکن یعنی تقریباً 3/3 ساعت معادل سه ساعت و 18 دقیقه خواهد بود.